Решите систему уравнений { 3 * (2/3)^(2x-y) + 7 * (2/3)^((2x-y)/2) - 6 = 0, lg(3x-y) + lg(x+y) = 4lg 2. В ответе запишите произведение решений системы уравнений.

Question

Вопрос:

Решите систему уравнений { 3 * (2/3)^(2x-y) + 7 * (2/3)^((2x-y)/2) - 6 = 0, lg(3x-y) + lg(x+y) = 4lg 2. В ответе запишите произведение решений системы уравнений.

$Решите систему уравнений { 3 * (2/3)^(2x-y) + 7 * (2/3)^((2x-y)/2) - 6 = 0, lg(3x-y) + lg(x+y) = 4lg 2. В ответе запишите произведение решений системы уравнений.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Решим первое уравнение: $3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x-y} + 7 \cdot (\frac{2}{3})^{\frac{2x-y}{2}} - 6 = 0$. Пусть $t = (\frac{2}{3})^{\frac{2x-y}{2}}$, где $t > 0$. Тогда $t^2 = (\frac{2}{3})^{2x-y}$. Уравнение принимает вид: $3t^2 + 7t - 6 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$. Корни $t_1 = \frac{-7+11}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{-7-11}{6} = -3$ (не подходит, так как $t > 0$). Значит, $(\frac{2}{3})^{\frac{2x-y}{2}} = \frac{2}{3}$, откуда $\frac{2x-y}{2} = 1$, следовательно $2x - y = 2$, или $y = 2x - 2$. 2. Подставим $y = 2x - 2$ во второе уравнение: $\lg(3x-(2x-2)) + \lg(x+(2x-2)) = \lg(2^4)$. $\lg(x+2) + \lg(3x-2) = \lg(16)$. $(x+2)(3x-2) = 16$. $3x^2 - 2x + 6x - 4 = 16$. $3x^2 + 4x - 20 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$. Корни: $x_1 = \frac{-4+16}{6} = 2$, $x_2 = \frac{-4-16}{6} = -\frac{10}{3}$. 3. Проверка ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть больше 0. При $x=2$: $y = 2(2)-2 = 2$. $3x-y = 6-2=4 > 0$, $x+y=2+2=4 > 0$. Решение подходит. При $x = -\frac{10}{3}$: $3x-y < 0$ (не подходит). 4. Единственное решение системы $(2; 2)$. Произведение решений (компонент $x$ и $y$): $2 \cdot 2 = 4$. **Ответ: 4**

Решите систему уравнений { 3 * (2/3)^(2x-y) + 7 * (2/3)^((2x-y)/2) - 6 = 0, lg(3x-y) + lg(x+y) = 4lg 2. В ответе запишите произведение решений системы уравнений.

Ответ ассистента

Другие решения