Решите систему уравнений: { 2^{x/y} + 2^{y/x} = 2.5, lg(2x - y) + 1 = lg(y + 2x) + lg 6.

Для решения системы уравнений: $\begin{cases} 2^{\frac{x}{y}} + 2^{\frac{y}{x}} = 2.5 \\ \lg(2x-y) + 1 = \lg(y+2x) + \lg 6 \end{cases}$ 1. Разберемся с первым уравнением: $2^{\frac{x}{y}} + 2^{\frac{y}{x}} = 2.5$. Пусть $t = 2^{\frac{x}{y}}$. Тогда $2^{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$. $t + \frac{1}{t} = 2.5 \Rightarrow t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$. Корни уравнения: $t = 2$ или $t = 0.5$. Если $2^{\frac{x}{y}} = 2^1$, то $\frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y$. Если $2^{\frac{x}{y}} = 2^{-1}$, то $\frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y$. 2. Подставим эти случаи во второе уравнение: $\lg(2x-y) + \lg 10 = \lg(6(y+2x))$, что равносильно $10(2x-y) = 6(y+2x)$. Случай $x = y$: $10(2x-x) = 6(x+2x)$ $10x = 18x \Rightarrow x = 0, y = 0$. Проверка ОДЗ для логарифма: $\lg(2x-y) = \lg(0)$ — невозможно. Этот случай не подходит. Случай $x = -y$: $10(2x - (-x)) = 6(-x + 2x)$ $10(3x) = 6x$ $30x = 6x \Rightarrow x = 0$. Тоже не подходит, так как аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Вернемся к записи уравнения: $\lg(2x-y) + 1 = \lg(y+2x) + \lg 6$. Это $\lg(10(2x-y)) = \lg(6(y+2x))$. $20x - 10y = 6y + 12x$ $8x = 16y \Rightarrow x = 2y$. Подставим $x = 2y$ в первое уравнение $2^{\frac{x}{y}} + 2^{\frac{y}{x}} = 2.5$: $2^{\frac{2y}{y}} + 2^{\frac{y}{2y}} = 2.5$ $2^2 + 2^{0.5} = 4 + \sqrt{2} \neq 2.5$. Перепроверим условие: $\lg(2x-y) + 1 = \lg(y+2x) + \lg 6$. Возможно, в условии опечатка или $1 = \lg 10$, тогда $\lg(10(2x-y)) = \lg(6(y+2x))$. Если допустить, что в первом уравнении $2^{\frac{x}{y}} + 2^{-\frac{x}{y}} = 2.5$, тогда $x/y$ может быть 1 или -1. При $x=y$ уравнение $\lg(x) = \lg(3x) + \lg 6$ не имеет решения. При $x=-y$ уравнение $\lg(3x) = \lg(x) + \lg 6 \Rightarrow 3x = 6x$ не имеет решения. Вероятно, $1$ в условии — это $\lg 10$. Попробуйте перепроверить условие задачи. Если $x=2y$ верное соотношение, проверьте аргументы логарифмов.