Решите систему уравнений {log_x x + log_x y = 2; x^2 - y = 20. В ответе запишите сумму решений системы уравнений.

Question

Вопрос:

Решите систему уравнений {log_x x + log_x y = 2; x^2 - y = 20. В ответе запишите сумму решений системы уравнений.

$Решите систему уравнений {log_x x + log_x y = 2; x^2 - y = 20. В ответе запишите сумму решений системы уравнений.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения системы уравнений $\begin{cases} \log_x x + \log_x y = 2 \\ x^2 - y = 20 \end{cases}$ выполним следующие действия: 1. Упростим первое уравнение. Так как $\log_x x = 1$ (при условии $x > 0, x \neq 1$), то: $1 + \log_x y = 2$ $\log_x y = 1$ Отсюда получаем $y = x^1$, то есть $y = x$. 2. Подставим полученное выражение $y = x$ во второе уравнение: $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0$ 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$ $x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5$ $x_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4$ 4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть строго больше 0 и не равно 1 ($x > 0, x \neq 1$). Корень $x_2 = -4$ не подходит, так как он отрицательный. Для $x_1 = 5$ имеем $y = x = 5$, что удовлетворяет условиям логарифма. 5. Система имеет одно решение $(5; 5)$. Сумма координат этого решения равна $5 + 5 = 10$. **Ответ: 10**

Решите систему уравнений {log_x x + log_x y = 2; x^2 - y = 20. В ответе запишите сумму решений системы уравнений.

Ответ ассистента

Другие решения