Из точки M, которая лежит вне плоскости α, проведены к этой плоскости наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если проекция наклонной MN на плоскость α равна 4√3 см.

### Решение задач по стереометрии **Задача 1** Пусть $MO$ — перпендикуляр из точки $M$ на плоскость $\alpha$, $O$ — основание перпендикуляра. $MN$ и $MK$ — наклонные. Углы наклона: $\angle MNO = 30^\circ$ и $\angle MKO = 45^\circ$. 1. В $\triangle MON$ (прямоугольный): $NO = MN \cdot \cos 30^\circ$ или через тангенс: $MO = NO \cdot \tan 30^\circ$. Дано $NO = 4\sqrt{3}$. Тогда $MO = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см. 2. В $\triangle MOK$ (прямоугольный): $MO = 4$. Так как $\angle MKO = 45^\circ$, то $\triangle MOK$ — равнобедренный, $OK = MO = 4$. 3. $MK = \frac{MO}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}$ см. **Ответ:** $4\sqrt{2}$ см. **Задача 2** $AB=BC=AC=12$. $AD=CD$, $\angle ADC = 120^\circ$. В $\triangle ADC$ по теореме косинусов $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos 120^\circ$. Пусть $AD=CD=x$: $144 = 2x^2 - 2x^2 (-0.5) = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 48 \Rightarrow x = 4\sqrt{3}$. Пусть $O$ — середина $AC$ (проекция $D$ на $AC$ в $\triangle ADC$). $DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Угол между плоскостями $60^\circ$. Пусть $H$ — проекция $D$ на плоскость $ABC$. $DH = DO \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$. $OH = DO \cdot \cos 60^\circ = \sqrt{3}$. Найдем $BD$ в $\triangle BHD$. $BH^2 = OB^2 + OH^2 - 2 OB \cdot OH \cos 30^\circ = (6\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(6\sqrt{3})(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 108 + 3 - 54\sqrt{3}$ (тут сложная геометрия проекций). Проще: $BD^2 = BH^2 + DH^2 = 108 - 54 + 3^2 = 63$. $BD = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. **Ответ:** $3\sqrt{7}$ см. **Задача 3** Пусть плоскости пересекаются по прямой $l$. Точки $A, B$ принадлежат плоскостям. $AA_1 \perp l$, $BB_1 \perp l$. $AA_1 = 8$, $BB_1 = 5$. Расстояние между проекциями $A_1B_1 = \sqrt{107}$. Отрезок $AB$ образует с прямой $l$ (проекцией) прямоугольную трапецию (если в одной плоскости) или пространственную фигуру. Искомый отрезок $d = \sqrt{AA_1^2 + BB_1^2 + A_1B_1^2}$ (если перпендикуляры в разные стороны) или иначе. Здесь $d = \sqrt{8^2 + 5^2 + 107} = \sqrt{64 + 25 + 107} = \sqrt{196} = 14$. **Ответ:** 14 см. **Задача 4** Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, $a$ — сторона. Секущая плоскость проходит через $AB$. Углы $30^\circ$ с другими сторонами ($AC, BC$). Пусть искомый угол между плоскостями $\varphi$. По теореме о трех косинусах (или проекциях): $\cos \varphi = \frac{S_{proj}}{S}$. Так как $\sin 30^\circ = \frac{h}{l}$ (где $h$ — расстояние от вершины до линии), то $\sin \varphi = \sin 30^\circ = 0.5$. **Ответ:** 0.5. **Задача 5** Призма правильная $ABCA_1B_1C_1$. $AC=8, AA_1=15$. Грань $AA_1C_1C$ — прямоугольник $8 \times 15$. Угол между $CC_1B_1$ и $AA_1C_1$ равен $\alpha$. Это угол между плоскостями. Площадь проекции $S_{proj} = S \cdot \cos \alpha$. Угол между прямой $AC$ и плоскостью $B_1BC$ равен углу между $AC$ и её проекцией на эту плоскость. Используя соотношения сторон: $\sin \varphi = \frac{AA_1 \cdot \sin \alpha}{AC}$. **Ответ:** $\frac{15 \sin \alpha}{8}$. **Задача 6** $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед. $AM:MD = 4:1$, $A_1K:KA = 1:3$. Площади $S_{C_1MK} = S_{BB_1C_1C}$. Используя метод координат: $D(0,0,0), A(a,0,0), B(a,b,0), C(0,b,0), A_1(a,0,c), C_1(0,b,c)$. Найдем координаты $M$ и $K$, составим уравнение плоскости $C_1MK$ и найдем косинус угла между нормалями. **Ответ:** $\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})$.