1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, BC = √91. Найдите cos∠A.

1. В прямоугольном треугольнике косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{91})^2} = \sqrt{9 + 91} = \sqrt{100} = 10$. Тогда $\cos \angle A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{10} = 0,3$. **Ответ: 0,3** 2. Периметр ромба $P = 36$, значит сторона $a = P / 4 = 36 / 4 = 9$. Площадь ромба $S = a \cdot h$, где $h$ — высота. $54 = 9 \cdot h \Rightarrow h = 6$. **Ответ: 6** 3. Пусть $\angle BAD = 2\alpha$. Биссектриса делит угол пополам, значит $\angle KAD = \alpha$ (где K на BC). Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle KAD = \angle AKB = \alpha$. По условию $\angle AKB = 15^\circ$. Тогда весь угол $A = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$. Угол параллелограмма $B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Острый угол равен $30^\circ$. **Ответ: 30** 4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AB=CD$) углы при основании равны: $\angle A = \angle D$. В треугольнике $ABD$: $\angle A + \angle BDA + \angle ABD = 180^\circ$. Т.к. $AB=CD$, то $\angle D = \angle BDA + \angle BDC = 49^\circ + 13^\circ = 62^\circ$. Значит $\angle A = 62^\circ$. В треугольнике $ABD$: $62^\circ + 49^\circ + \angle ABD = 180^\circ \Rightarrow \angle ABD = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$. **Ответ: 69** 5. Биссектриса угла $A$ отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник $ABK$ (где $AB=BK$). По условию $BK=6$, значит $AB=6$. Сторона $BC = BK + KC = 6 + 10 = 16$. Противоположные стороны равны, значит $AD=BC=16$ и $CD=AB=6$. Периметр $P = 2(AB+BC) = 2(6+16) = 2(22) = 44$. **Ответ: 44** 6. $\cos \angle A = \frac{AC}{AB}$. По условию $AC=8$, $\cos \angle A = 2/3$. Имеем уравнение: $2/3 = 8 / AB$. Отсюда $AB = (8 \cdot 3) / 2 = 12$. **Ответ: 12**