1.Найти наибольший отрицательный корень уравнения cos(π(x-1)/4)=√2/2

Привет! Давай разберем эти тригонометрические уравнения по порядку. ### 1. $\cos{\frac{\pi(x-1)}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Общее решение для косинуса: $\frac{\pi(x-1)}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Разделим всё на $\pi$ и умножим на 4: $x - 1 = \pm 1 + 8n$ $x = 1 \pm 1 + 8n$ Две серии решений: 1) $x = 2 + 8n$ 2) $x = 0 + 8n$ Наибольший отрицательный корень: при $n=-1$ из первой серии $x = 2 - 8 = -6$. (Из второй $x = -8$). **Ответ: -6** ### 2. $\sin{\frac{\pi(2x+1)}{6}} = \frac{1}{2}$ Решение: $\frac{\pi(2x+1)}{6} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Делим на $\pi$ и умножаем на 6: $2x+1 = (-1)^k + 6k$ $2x = (-1)^k - 1 + 6k$ $x = \frac{(-1)^k - 1}{2} + 3k$ Если $k$ четное ($k=2m$): $x = 0 + 6m$. Если $k$ нечетное ($k=2m+1$): $x = -1 + 6m + 3 = 2 + 6m$. Серии: $x=6m$ и $x=2+6m$. Наименьший положительный корень: из второй серии при $m=0$ получаем $x=2$. **Ответ: 2** ### 3. $\cos{\frac{2\pi x}{3}} = -\frac{1}{2}$ Решение: $\frac{2\pi x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Делим на $\pi$ и умножаем на $\frac{3}{2}$: $x = \pm 1 + 3n$. Серии: $x = 1 + 3n$ и $x = -1 + 3n$. Наибольший отрицательный корень: из второй серии при $n=0$ получаем $x=-1$. **Ответ: -1** ### 4. $\sin{\frac{\pi(x+1)}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Решение: $\frac{\pi(x+1)}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Умножаем на $\frac{3}{\pi}$: $x+1 = (-1)^k (-1) + 3k$ $x = -1 - (-1)^k + 3k$ Если $k$ четное ($k=2m$): $x = -1 - 1 + 6m = -2 + 6m$. Если $k$ нечетное ($k=2m+1$): $x = -1 + 1 + 3(2m+1) = 6m + 3$. Серии: $x=-2+6m$ и $x=3+6m$. Наименьший положительный корень: при $m=0$ из второй серии получаем $x=3$. **Ответ: 3** ### 5. $\text{tg}{\frac{\pi(2x+4)}{3}} = -\sqrt{3}$ Решение: $\frac{\pi(2x+4)}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Умножаем на $\frac{3}{\pi}$: $2x+4 = -1 + 3n$ $2x = -5 + 3n$ $x = -2,5 + 1,5n$ Наименьший положительный корень: при $n=2$ получаем $x = -2,5 + 3 = 0,5$. **Ответ: 0,5**