Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

**Задача 10** Пусть искомое число $N = 100a + 10b + c$. По условию $a \ge 4$, первая цифра — среднее арифметическое: $a = (b+c)/2 \implies 2a = b+c$. Число дает одинаковые остатки $r$ при делении на 5 и на 6, значит, $N \equiv r \pmod{30}$. Проверим числа, где $a=4$: $2 \cdot 4 = b+c = 8$. Возможные числа: 408, 417, 426, 435, 444, 453, 462, 471, 480. При делении 453 на 30 получаем остаток 3 (равный остатку при делении на 5 и 6). **Ответ: 453** **Задача 11** Пусть в понедельник отсутствовало $x$ учеников, тогда присутствовало $13x$. Всего в классе $14x$ учеников. Во вторник отсутствовало $x+2$, присутствовало $13x-2$. По условию $13x-2 = 6(x+2)$. $13x - 2 = 6x + 12 \implies 7x = 14 \implies x = 2$. Всего учеников: $14 \cdot 2 = 28$. **Ответ: 28** **Задача 12** Раскроем скобки: $(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2$ $2x^2 - 2x + 13 = 2x^2$ $-2x + 13 = 0 \implies x = 6,5$. **Ответ: 6,5** **Задача 13** В $\triangle ABC$ $\angle B = 90^\circ$. Так как гипотенуза $AC=10$ в два раза больше катета $BC=5$, то $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. $BO$ и $CO$ — биссектрисы, поэтому $\angle OBC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$, а $\angle OCB = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. В $\triangle OBC$ сумма углов $180^\circ$: $\angle BOC = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ$. **Ответ: 105**