1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см.

### Вариант 1 **1. Найдите ОВ, если АВ = 12 см.** Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\triangle ОАВ$ — прямоугольный ($\angle ОАВ = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $ОВ^2 = ОА^2 + АВ^2$. $ОВ^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $ОВ = \sqrt{169} = 13$ см. **Ответ: 13 см.** **2. Найдите АВ и АС, если $\angle ВАС = 60^\circ$.** Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, поэтому $АВ = АС$. Отрезок $АО$ является биссектрисой угла $ВАС$, значит, $\angle ОАВ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ОАВ$: $ОА = 8$, $\angle ОАВ = 30^\circ$, $\angle ОВА = 90^\circ$. $АВ = ОВ / \text{tg}(30^\circ) = 8 / (1/\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$. Так как $АВ = АС$, то $АС = 8\sqrt{3}$. **Ответ: $8\sqrt{3}$ см.** **3. Найдите периметр треугольника АВМ, если $\angle АОВ = 120^\circ$.** Так как $ОА = ОВ = 8$ (радиусы), то $\triangle АОВ$ равнобедренный. Проведем биссектрису $\angle АОВ$, которая делит его пополам на два угла по $60^\circ$. Рассмотрим $\triangle ОАМ$: $\angle ОАМ = 90^\circ$, $\angle АОМ = 60^\circ$, значит, $\angle АМО = 30^\circ$. $АМ = ОА / \text{tg}(30^\circ) = 8 / (1/\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$. $ОМ = ОА / \sin(30^\circ) = 8 / 0.5 = 16$. В $\triangle АВМ$: $АМ = ВМ = 8\sqrt{3}$. Найдем $АВ$. В $\triangle АОВ$: $АВ = 2 \cdot ОА \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}/2 = 8\sqrt{3}$. Периметр $АВМ = АМ + ВМ + АВ = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см. **Ответ: $24\sqrt{3}$ см.** ### Вариант 2 **1. Найдите АВ, если ОА = 17 см.** Радиус $ОВ = 15$. $\triangle ОВА$ — прямоугольный ($\angle ОВА = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $АВ^2 = ОА^2 - ОВ^2$. $АВ^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$. $АВ = \sqrt{64} = 8$ см. **Ответ: 8 см.** **2. Найдите АМ и ВМ, если $\angle АМВ = 90^\circ$, ОМ = 10 см.** $\triangle ОАМ$ — прямоугольный ($\angle ОАМ = 90^\circ$). Угол $\angle АМО = \angle АМВ / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. В $\triangle ОАМ$: $\sin(45^\circ) = ОА / ОМ = r / 10 \Rightarrow r = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. $АМ = ОМ \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Так как $АМ = ВМ$, то $ВМ = 5\sqrt{2}$. **Ответ: $5\sqrt{2}$ см.** **3. Найдите периметр треугольника АВС, если $\angle ВОС = 60^\circ$, ОА = 12 см.** *Примечание: в условии задачи опечатка, вероятно, имеется в виду $\triangle АВС$ с касательными из точки А.* Если $ОА = 12$ — расстояние до центра, а радиус $R$ не дан, задача требует уточнения. Предположим $R$ — радиус, $АВ = АС$ — касательные. Если нужно найти периметр $АВС$, недостаточно данных для вычисления $R$ из $\angle ВОС = 60^\circ$. Если предположить, что нужно найти периметр треугольника, образованного точками касания и вершиной, задача решается через тригонометрию, но необходимо значение радиуса. **Ответ: Недостаточно данных.**