2. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и углом A, равным 60°, проведена высота CH. Найдите BH, если AH=6 см.

1. Рассмотрим $\triangle AHC$ (где $\angle AHC = 90^\circ$): так как $\angle A = 60^\circ$, то $\angle ACH = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2. Катет $AH$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AC$, но нам удобнее найти $AC$ через косинус: $\cos A = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AC = \frac{AH}{\cos 60^\circ} = \frac{6}{0,5} = 12$ см. 3. В $\triangle ABC$ $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 4. Высота $CH$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ делит его на два подобных треугольника, поэтому $\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$: $\cos B = \frac{BC}{AB}$ или просто воспользуемся тем, что в $\triangle CBH$ $\angle BCH = 60^\circ$ (так как $\angle C = 90^\circ, \angle ACH = 30^\circ$): $CH = AH \cdot \tan 60^\circ = 6 \sqrt{3}$. 5. В $\triangle CBH$ ($H=90^\circ$): $\angle B = 30^\circ$, значит $BH = CH \cdot \cot 30^\circ = (6 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см. **Ответ: 18 см.**