743 Радиус OM окружности с центром O делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку M, параллельна хорде AB.

Дано: окружность с центром $O$, радиус $OM$, хорда $AB$, $OM$ делит $AB$ пополам (пусть точка пересечения — $K$). **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Так как $OA = OB$ (радиусы одной окружности), треугольник равнобедренный. 2. По условию, $OM$ (а значит, и его часть $OK$) делит хорду $AB$ пополам. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $OM \perp AB$. 3. Пусть $t$ — касательная, проведенная через точку $M$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Значит, $OM \perp t$. 4. Получили, что $OM \perp AB$ и $OM \perp t$. Если две прямые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны. Значит, $t \parallel AB$. Что и требовалось доказать.