У Пети есть конфеты: 7 мятных, 9 лимонных, 6 клубничных и 8 вишнёвых. Петя хочет разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество.

### Решение задачи **Дано:** - Мятных конфет: 7 - Лимонных конфет: 9 - Клубничных конфет: 6 - Вишнёвых конфет: 8 Всего конфет: $7 + 9 + 6 + 8 = 30$. **1) Какое самое маленькое количество пакетиков сможет собрать Петя?** Условия: - В каждом пакетике одинаковое количество конфет. - В одном пакетике не может быть двух одинаковых конфет (значит, в пакетике могут быть конфеты только разных видов). Так как видов конфет всего 4, в одном пакетике может быть максимум 4 конфеты (по одной каждого вида). Значит, количество конфет в пакетике не может превышать 4. Также, так как конфет каждого вида должно хватить на все пакетики, количество пакетиков ($N$) должно быть делителем каждого количества конфет: $N$ должно делить 7, 9, 6 и 8. Однако, условие «не было двух одинаковых конфет» означает, что в одном пакетике каждого вида конфет не более 1. То есть, чтобы конфет хватило на $N$ пакетиков, должно выполняться: - $N \le 7$ - $N \le 9$ - $N \le 6$ - $N \le 8$ Значит, $N \le 6$. Чтобы количество конфет в пакетиках было одинаковым, обозначим его за $k$. Тогда общее количество конфет: $N \times k = 30$. Нам нужно найти минимальное $N$, такое что $N$ — делитель 30, $N \le 6$ и $k \le 4$ (так как видов конфет 4). Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Подходят: 5 и 6. Если $N=5$, то $k = 30 / 5 = 6$. Но $k$ не может быть 6, так как видов конфет всего 4. Если $N=6$, то $k = 30 / 6 = 5$. Тоже не подходит, так как $k > 4$. Похоже, условие задачи «не было двух одинаковых конфет» в пакетике означает, что их там может быть максимум 4. Значит, $k \le 4$. Пересчитаем: $N \times k = 30$. Если $k=3$, то $N=10$ (не подходит, $N \le 6$). Если $k=4$, то $N=7,5$ (не целое). Значит, нужно внимательнее перечитать: "ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет". Это значит, что набор конфет в пакетике состоит из уникальных конфет. Это не ограничивает размер пакетика количеством видов, если видов достаточно, но видов всего 4. Значит, в пакетике не более 4 конфет. Проверим условие снова: «ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет». Это значит, что видов конфет в пакетике не более 4. Чтобы $N$ было минимальным, нужно, чтобы количество конфет в пакетике ($k$) было максимально возможным. Максимум $k=4$. Но тогда $30$ должно делиться на $N$, при этом $k=30/N$. Если $k=4$, $N=7.5$. Не подходит. Значит, $k$ должно быть меньше 4. Делители 30, меньшие 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15. Если $N=10$, то $k=3$ (подходит, $3 \le 4$). Если $N=15$, то $k=2$ (подходит, $2 \le 4$). Самое маленькое количество пакетиков, при котором $k \le 4$: $N=10$. **Ответ:** 10 пакетиков. **2) Петя разложил все конфеты в десять пакетиков... Сколько у него получилось пакетиков, в которых есть и лимонная, и клубничная, и вишнёвая конфета?** Мы выяснили, что в каждом пакетике по 3 конфеты ($30 / 10 = 3$). Всего конфет 30, пакетиков 10. В каждом пакетике 3 конфеты. Виды: 7 мятных (М), 9 лимонных (Л), 6 клубничных (К), 8 вишнёвых (В). Пусть $x$ — количество пакетиков, в которых есть Л, К, В. В каждом таком пакетике 3 конфеты (Л, К, В). Это все конфеты в этом пакетике. Количество используемых конфет для $x$ пакетиков: $x$ лимонных, $x$ клубничных, $x$ вишнёвых. Осталось конфет: $(9-x)$ Л, $(6-x)$ К, $(8-x)$ В, $7$ М. Всего осталось $10-x$ пакетиков. В каждом по 3 конфеты. Это значит, что всего нужно еще $3(10-x) = 30-3x$ конфет. У нас осталось: $(9-x) + (6-x) + (8-x) + 7 = 30 - 3x$ конфет. Всё сходится. Нам нужно, чтобы в оставшихся $10-x$ пакетиках не было повторяющихся конфет. Это значит, что в каждом пакетике максимум 1 конфета каждого вида. Также в оставшихся пакетиках должно быть по 3 конфеты. Значит, в них должны быть комбинации из 3 разных видов. Максимальное количество пакетиков, куда можно положить лимонную конфету — 9. В $x$ пакетиков мы уже положили лимонную. Осталось $9-x$ лимонных конфет. Они должны быть в разных пакетиках (всего их $10-x$ пакетиков). Значит, $9-x$ пакетиков из $10-x$ должны содержать лимонную конфету. Аналогично для клубничных ($6-x$ пакетиков) и вишнёвых ($8-x$ пакетиков). Всего пакетиков $10-x$. Значит, количество конфет каждого вида не должно превышать $10-x$. 1) $9-x \le 10-x$ (верно всегда) 2) $6-x \le 10-x$ (верно всегда) 3) $8-x \le 10-x$ (верно всегда) 4) $7 \le 10-x$ (количество мятных) $7 \le 10-x \Rightarrow x \le 3$. Значит, $x$ может быть 3. Проверим $x=3$: Пакетиков с (Л, К, В): 3. Осталось: $10-3=7$ пакетиков. Осталось конфет: $9-3=6$ (Л), $6-3=3$ (К), $8-3=5$ (В), $7$ (М). Нам нужно распределить 6Л, 3К, 5В, 7М в 7 пакетиков по 3 конфеты. В каждый из 7 пакетиков нужно положить по 3 конфеты, всего $7 \times 3 = 21$ конфета. У нас их $6+3+5+7 = 21$. Всё верно. Можно ли разложить так, чтобы не было повторов? Да. **Ответ:** 3 пакетика.