Сторона BC треугольника ABC вдвое длиннее его медианы BM. Найдите угол ABM, если известно, что ∠A = 40°, ∠C = 30°. Ответ дайте в градусах.

1. Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию сторона $BC$ вдвое длиннее медианы $BM$, то есть $BC = 2 \cdot BM$. Так как $M$ — середина стороны $AC$, то $BM$ — медиана, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. 2. Воспользуемся методом удвоения медианы. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на отрезок $MD = BM$. Получим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $M$ делятся пополам ($AM = MC$ по условию, $BM = MD$ по построению). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. 3. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD = BC$. По условию $BC = 2 \cdot BM$. Так как мы построили $BD = 2 \cdot BM$, то получаем, что $BC = BD$. Значит, $AD = BD$. 4. В треугольнике $ABD$ стороны $AD$ и $BD$ равны, следовательно, он равнобедренный. Углы при основании $AB$ равны: $\angle DAB = \angle DBA$. 5. В параллелограмме $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ параллельны, значит накрест лежащие углы равны: $\angle DAC = \angle BCA = 30^{\circ}$. 6. Тогда угол $\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$. Так как $\angle CAB$ — это угол $A$ исходного треугольника и он равен $40^{\circ}$, то $\angle DAB = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ}$. 7. Поскольку треугольник $ABD$ равнобедренный ($AD=BD$), то $\angle DBA = \angle DAB = 70^{\circ}$. 8. Искомый угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle DBA$, так как точки $D$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой. Значит, $\angle ABM = 70^{\circ}$. **Ответ: 70**