640 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Question

Вопрос:

640 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

640. В данной задаче рассматриваются две касательные, проведённые из одной точки $A$ к окружности с центром в точке $O$. Пусть точки касания будут $B$ и $C$. 1. Соединим центр $O$ с точками касания $B$ и $C$. По свойству касательной, радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным $AB$ и $AC$ соответственно ($OB \perp AB$, $OC \perp AC$). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (где $\angle ABO = 90^{\circ}$): - Гипотенуза $OA = 9$ см. - Катет $OB$ равен радиусу окружности, то есть $OB = 4{,}5$ см. 3. Заметим, что катет $OB$ в два раза меньше гипотенузы $OA$ ($4{,}5 = 9 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, против катета, равного половине гипотенузы, лежит угол $30^{\circ}$. Значит, $\angle OAB = 30^{\circ}$. 4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. То есть отрезок $OA$ является биссектрисой угла $BAC$ между касательными. 5. Следовательно, $\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: 60°**

640 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Ответ ассистента

Другие решения