Найти площадь полной поверхности пирамиды. Дано: $SO = 2\sqrt{7}$.

Допущение: На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $O$ — центр квадратного основания $ABCD$, $SC=10$ — боковое ребро, $SO = 2\sqrt{7}$ — высота пирамиды. 1. Найдем половину диагонали основания $OC$ из прямоугольного $\triangle SOC$ (по теореме Пифагора): $OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{7})^2} = \sqrt{100 - 28} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. 2. Так как $ABCD$ — квадрат, его диагональ $AC = 2 \cdot OC = 12\sqrt{2}$. Сторона квадрата $a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12$. 3. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$. 4. Для площади боковой поверхности найдем апофему $SM$. Пусть $M$ — середина $CD$, тогда $OM = \frac{a}{2} = 6$. Из прямоугольного $\triangle SOM$: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{28 + 36} = \sqrt{64} = 8$. 5. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 12) \cdot 8 = 24 \cdot 8 = 192$. 6. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 192 = 336$. **Ответ: 336.**