Question

Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

Accepted Answer

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию $BH$ — высота, значит $\angle BHA = 90^{\circ}$ и $\angle BHC = 90^{\circ}$.
2. Так как окружность построена на $BH$ как на диаметре, то вписанные углы, опирающиеся на этот диаметр, равны $90^{\circ}$. Точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ и на окружности. Значит, $\angle BPH = 90^{\circ}$ и $\angle BKH = 90^{\circ}$.
3. В четырёхугольнике $PBKH$ три угла прямые ($\angle B = 90^{\circ}$ по условию, $\angle BPH = 90^{\circ}$, $\angle BKH = 90^{\circ}$), следовательно, $PBKH$ — прямоугольник.
4. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями являются отрезки $BH$ и $PK$.
5. Так как $PK = 14$, то и $BH = 14$.

Ответ: 14

Ответ ассистента

Другие решения