Внешний угол треугольника равен ... углов треугольника, ... с ним. Докажите, что если один из углов треугольника — прямой, то сумма двух других его углов равна 90°.

**В. Теорема.** Внешний угол треугольника равен **сумме двух внутренних** углов треугольника, **не смежных** с ним. Дано: $\triangle CDF$; $\angle DFE$ — внешний угол. Доказать: $\angle DFE = \angle C + \angle D$. **Доказательство.** 1) $\angle DFE + \angle 1 = 180^{\circ}$, так как они **смежные**. 2) $\angle 1 + (\angle 2 + \angle 3) = 180^{\circ}$, по теореме о **сумме углов треугольника**. 3) Сравнивая эти равенства, видим, что $\angle DFE = \angle 2 + \angle 3$. **3.** Докажите, что если один из углов треугольника — прямой, то сумма двух других его углов равна $90^{\circ}$. **Доказательство.** 1) Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A$ — прямой, а угол $1$ — внешний угол треугольника $ABC$, смежный с углом $A$. (Сделайте чертёж: начертите прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ и продлите сторону $CA$ за точку $A$, отметив на продолжении точку для образования внешнего угла $1$). 2) Тогда по свойству **смежных** углов $\angle 1 = 180^{\circ} - \angle A = 90^{\circ}$. По теореме о **внешнем** угле треугольника $\angle 1 = \angle B + \angle C$. 3) Следовательно, $\angle B + \angle C = 90^{\circ}$. **4.** Найдите, чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине. **Решение.** Сумма внешних углов треугольника (по одному при каждой вершине) равна $360^{\circ}$. Каждый внешний угол в сумме со смежным внутренним даёт $180^{\circ}$. Всего таких пар три: $(180^{\circ} \cdot 3 = 540^{\circ})$. Вычтем сумму внутренних углов ($180^{\circ}$): $540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ}$. **Ответ: $360^{\circ}$.**