1. На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, BC = 9 см. Найдите сторону AC треугольника ABC.

7 класс. К-4, В-2 **1. Решение:** 1) Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $B$ треугольника $ABC$. Угол $BAC$ является смежным с углом $BAE$: $\angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAE = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. Угол $ABC$ является вертикальным углу $DBF$: $\angle ABC = \angle DBF = 68^{\circ}$. 2) Так как $\angle BAC = \angle ABC = 68^{\circ}$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ (по признаку равнобедренного треугольника). 3) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит $AC = BC$. По условию $BC = 9$ см, следовательно, $AC = 9$ см. **Ответ: 9 см.** **2. Решение:** 1) В треугольнике $MKP$ угол $MKP$ — тупой, так как он состоит из острого угла $NKR$ и некоторой части (точка $K$ лежит на стороне $MN$, луч $KP$ проходит внутри угла $MKR$). Однако, более строго: в $\triangle NKP$ угол $\angle NKP$ острый по условию. Рассмотрим $\triangle MKP$. 2) В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. В треугольнике $MKP$ внешним углом при вершине $K$ является угол $NKP$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle NKP = \angle KMP + \angle KPM$. 3) Так как $\angle NKP$ — острый, то углы $KMP$ и $KPM$ также острые (причем их сумма меньше $90^{\circ}$). 4) Угол $MKP$ смежный с острым углом $NKP$, значит $\angle MKP = 180^{\circ} - \angle NKP$. Так как $\angle NKP < 90^{\circ}$, то $\angle MKP > 90^{\circ}$ (тупой). 5) В треугольнике $MKP$ угол $MKP$ самый большой (так как он тупой, а два других — острые). Против большего угла лежит большая сторона. Значит, сторона $MP$, лежащая против угла $MKP$, больше стороны $KP$, лежащей против угла $KMP$. Следовательно, $KP < MP$, что и требовалось доказать. **3. Решение:** Пусть одна сторона равна $x$ см, тогда другая — $(x + 17)$ см. В тупоугольном равнобедренном треугольнике основание всегда больше боковой стороны, иначе треугольник не будет существовать (согласно неравенству треугольника и сумме углов). Значит, основание — это большая сторона. 1) Случай 1: Боковые стороны по $x$ см, основание $(x + 17)$ см. Периметр: $x + x + (x + 17) = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ Стороны: 20 см, 20 см, 37 см. Проверим неравенство треугольника: $20 + 20 > 37$ ($40 > 37$) — верно. Такой треугольник существует. 2) Случай 2: Боковые стороны по $(x + 17)$ см, основание $x$ см. Периметр: $(x + 17) + (x + 17) + x = 77$ $3x + 34 = 77$ $3x = 43$ $x = 14\frac{1}{3}$ см. Но в тупоугольном треугольнике основание — самая длинная сторона, а здесь $x < x + 17$, что противоречит условию тупоугольности. **Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.**