Упростить: а) (a+6)²-25; б) (a-c)(a+c)-(a-2c)²; в) (x-3)(x+3)-(x+8)(x-8); г) (x+3)²-(x-3)²; д) (3m-7n)²-9m(m-5n); е) (41²-17²)/(37²-21²)-(39²-27²)/(45²-21²)

Для упрощения выражений используем формулы сокращённого умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. а) $(a+6)^2 - 25 = a^2 + 12a + 36 - 25 = a^2 + 12a + 11$ б) $(a-c)(a+c) - (a-2c)^2 = a^2 - c^2 - (a^2 - 4ac + 4c^2) = a^2 - c^2 - a^2 + 4ac - 4c^2 = 4ac - 5c^2$ в) $(x-3)(x+3) - (x+8)(x-8) = x^2 - 9 - (x^2 - 64) = x^2 - 9 - x^2 + 64 = 55$ г) $(x+3)^2 - (x-3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$ д) $(3m-7n)^2 - 9m(m-5n) = 9m^2 - 42mn + 49n^2 - 9m^2 + 45mn = 3mn + 49n^2$ е) Вычислим, используя разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $\frac{41^2 - 17^2}{37^2 - 21^2} - \frac{39^2 - 27^2}{45^2 - 21^2} = \frac{(41-17)(41+17)}{(37-21)(37+21)} - \frac{(39-27)(39+27)}{(45-21)(45+21)} = \frac{24 \cdot 58}{16 \cdot 58} - \frac{12 \cdot 66}{24 \cdot 66} = \frac{24}{16} - \frac{12}{24} = 1,5 - 0,5 = 1$ **Ответ: а) $a^2+12a+11$; б) $4ac-5c^2$; в) 55; г) 12x; д) $3mn+49n^2$; е) 1.**