Контрольная работа № 5. Тема: Квадратные уравнения. Теорема Виета. Решите уравнение: 1) 4x² - 20 = 0; 2) 3x² + 5x = 0; 3) x² - 5x - 24 = 0; 4) 2x² + 13x + 6 = 0; 5) 7x² - 6x + 2 = 0; 6) 4x² + 12x + 9 = 0.

На фотографии представлены две контрольные работы по алгебре для 8 класса. Решим задания из **Контрольной работы № 5**. ### Контрольная работа № 5 **1. Решите уравнение:** 1) $4x^2 - 20 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$ 2) $3x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(3x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$ 3) $x^2 - 5x - 24 = 0$ (по теореме Виета: $x_1+x_2=5, x_1 \cdot x_2=-24$) $\Rightarrow x_1 = 8, x_2 = -3$ 4) $2x^2 + 13x + 6 = 0$; $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$; $x = \frac{-13 \pm 11}{4} \Rightarrow x_1 = -0,5, x_2 = -6$ 5) $7x^2 - 6x + 2 = 0$; $D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$. Так как $D < 0$, корней нет. 6) $4x^2 + 12x + 9 = 0 \Rightarrow (2x + 3)^2 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1,5$ **2. Составьте приведенное квадратное уравнение:** По теореме Виета для уравнения $x^2 + px + q = 0$: $p = -(\text{сумма}) = -6$, $q = \text{произведение} = 4$. **Ответ:** $x^2 - 6x + 4 = 0$. **3. Найдите стороны прямоугольника:** Пусть $x$ см — одна сторона, тогда $(x+3)$ см — вторая. По теореме Пифагора: $x^2 + (x+3)^2 = 15^2 \Rightarrow x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 216 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 108 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$ $x = \frac{-3 + 21}{2} = 9$ (отрицательный корень $-12$ не подходит). Стороны: $9$ см и $9+3=12$ см. **Ответ:** 9 см, 12 см. **4. Найдите значение $b$ и второй корень:** Уравнение $3x^2 + bx + 4 = 0$. Если $x_1 = 4$, то $3 \cdot 4^2 + 4b + 4 = 0 \Rightarrow 48 + 4b + 4 = 0 \Rightarrow 4b = -52 \Rightarrow b = -13$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3} \Rightarrow 4x_2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}$. **Ответ:** $b = -13, x_2 = \frac{1}{3}$. **5. При каком значении $a$ уравнение имеет единственный корень:** $2x^2 - 8x + a = 0$ имеет один корень, если $D = 0$. $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 64 - 8a = 0 \Rightarrow 8a = 64 \Rightarrow a = 8$. **Ответ:** $a = 8$. **6. Найдите значение выражения:** Для $x^2 + 10x - 4 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10, x_1x_2 = -4$. $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(-10)^2 - 2(-4)}{(-4)^2} = \frac{100+8}{16} = \frac{108}{16} = 6,75$. **Ответ:** 6,75.