Билет №2. 1. Параллелограмм. Определение. Свойства. 2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство). 3. Задача: Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

### Билет №2 **1. Параллелограмм. Определение. Свойства.** **Определение:** Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. **Основные свойства:** 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. **2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство).** **Теорема:** Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. **Доказательство:** 1. Пусть $m$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, $O$ — середина $AB$. Возьмём произвольную точку $P$ на прямой $m$. 2. Если $P$ совпадает с $O$, то $PA = PB$, так как $O$ — середина. 3. Если $P$ не совпадает с $O$, рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APO$ и $\triangle BPO$. 4. У них: $AO = OB$ (по условию), $PO$ — общая сторона, $\angle POA = \angle POB = 90^{\circ}$. 5. Следовательно, $\triangle APO = \triangle BPO$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что $PA = PB$. Теорема доказана. **3. Задача: Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.** **Дано:** ромб, $d_1 = 10\text{ см}$, $d_2 = 24\text{ см}$. **Найти:** $a$ (сторона), $S$ (площадь). **Решение:** 1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\text{ см}^2$. 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба: Катеты равны $\frac{10}{2} = 5\text{ см}$ и $\frac{24}{2} = 12\text{ см}$. 3. По теореме Пифагора найдём сторону $a$ (гипотенузу): $a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $a = \sqrt{169} = 13\text{ см}$. **Ответ:** сторона ромба — 13 см, площадь — 120 см².