1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

1. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$). Угол при вершине $\angle AOB = 60^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит, углы при основании $\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ}$. Треугольник $AOB$ — равносторонний. Следовательно, $R = OA = AB = 6$. Ответ: 6. 2. Рассмотрим треугольник $OCD$. $OC = OD$ как радиусы, значит, он равнобедренный и $\angle ODC = \angle OCD = 30^{\circ}$. Угол $\angle COD = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальные, значит, $\angle AOB = 120^{\circ}$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$), углы при основании $\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$. Ответ: $30^{\circ}$. 3. Угол $\angle MON$ — центральный, он равен дуге $MN$. Угол $\angle MPN$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $MN$. По свойству вписанного угла: $\angle MPN = \frac{1}{2} \angle MON$. Тогда $\angle MON = 2 \cdot \angle MPN = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$. Ответ: $36^{\circ}$. 4. Центральный угол $\angle AOB = 84^{\circ}$ опирается на дугу $AB$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на ту же дугу $AB$. По теореме о вписанном угле: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 84^{\circ} / 2 = 42^{\circ}$. Ответ: $42^{\circ}$. 5. Так как $BC$ — диаметр, то дуга $BC$ равна $180^{\circ}$. Центральный угол $\angle AOC = 96^{\circ}$, значит, дуга $AC = 96^{\circ}$. Дуга $AB = \cup BC - \cup AC = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = 84^{\circ} / 2 = 42^{\circ}$. Ответ: $42^{\circ}$.