Question

Окружности с центрами А и В пересекаются в точках М и N. Докажите, что AB ⊥ MN, MC = CN.

Accepted Answer

Для заполнения пропусков воспользуемся свойствами окружностей и признаками равенства треугольников:

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $ANB$ (проведите отрезки $AM, MB, BN$ и $AN$). В этих треугольниках $AM = \uline{AN}$, $BM = \uline{BN}$ (радиусы окружностей), сторона $AB$ — общая. Следовательно, $	riangle AMB = \uline{	riangle ANB}$ (по трём сторонам). Поэтому $\angle MAB = \uline{\angle NAB}$, значит, луч $AB$ — биссектриса угла $MAN$, а отрезок $AC$ — биссектриса $	riangle \uline{MAN}$.

Так как $AM = AN$, то треугольник $MAN$ — равнобедренный, следовательно, его биссектриса $AC$ является высотой и медианой. То есть $AB \perp \uline{MN}$ и $MC = \uline{CN}$, что и требовалось доказать.

Окружности с центрами А и В пересекаются в точках М и N. Докажите, что AB ⊥ MN, MC = CN.

Ответ ассистента

Другие решения