297. Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины C до этой плоскости, если катеты треугольника равны 6 см и 8 см. 298. Равнобедренные треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB. Угол между их плоскостями равен 60°. Найдите длину отрезка CD, если BC = 15 см, BD = 13 см, AB = 24 см.

### Задача 297 **Дано:** $\triangle ABC$ — прямоугольный ($∠C = 90^∘$); $AC = 6$ см, $BC = 8$ см; плоскость $\alpha$ проходит через $AB$; угол между плоскостью $(ABC)$ и $\alpha$ равен $30^∘$. **Найти:** $d(C, \alpha)$ — расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$. **Решение:** 1. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ (см). 2. Найдём высоту $CH$ треугольника $ABC$, проведённую к гипотенузе: $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$ (см). 3. Пусть $CK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $CK$ — искомое расстояние. По теореме о трёх перпендикулярах $KH \perp AB$, значит, $∠CHK$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями, $∠CHK = 30^∘$. 4. В прямоугольном $\triangle CKH$ ($∠K = 90^∘$): $CK = CH \cdot \sin 30^∘ = 4,8 \cdot 0,5 = 2,4$ (см). **Ответ:** 2,4 см. *** ### Задача 298 **Дано:** $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ — равнобедренные ($AC=BC, AD=BD$); $AB$ — общее основание, $AB = 24$ см; угол между $(ABC)$ и $(ABD)$ равен $60^∘$; $BC = 15$ см, $BD = 13$ см. **Найти:** $CD$. **Решение:** 1. Проведём медиану $MH$ к основанию $AB$ в обоих треугольниках. Так как они равнобедренные, $MH$ является и высотой ($CH \perp AB$ и $DH \perp AB$). Значит, $∠CHD = 60^∘$ — угол между плоскостями. 2. В $\triangle ABC$: $H$ — середина $AB$, $AH = HB = 12$ см. $CH = \sqrt{BC^2 - HB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ (см). 3. В $\triangle ABD$: $DH = \sqrt{BD^2 - HB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ (см). 4. Из $\triangle CHD$ по теореме косинусов: $CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos 60^∘$ $CD^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 0,5 = 81 + 25 - 45 = 61$. $CD = \sqrt{61}$ (см). **Ответ:** $\sqrt{61}$ см.