Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько у бабушки внуков?

Пусть у бабушки $x$ внуков. Из условия задачи мы знаем: 1. Если конфет на 15 больше, они делятся поровну между $x$ внуками. Это значит, что 15 делится на $x$ без остатка. 2. Если конфет на 9 больше, то после деления поровну остается 1 лишняя конфета. Это значит, что при делении 9 на $x$ в остатке получается 1. То есть число $(9 - 1) = 8$ делится на $x$ без остатка. Найдем общее число, на которое делятся и 15, и 8. Единственное целое число больше 1 (так как про внуков говорят во множественном числе), на которое делится 8 — это 2, 4 или 8. Проверим их для числа 15: - 15 не делится на 2; - 15 не делится на 4; - 15 не делится на 8. Заметим, что фраза «осталась бы одна лишняя конфета» при добавлении 9 штук означает: $9 = n \cdot x + 1$, где $n$ — сколько дополнительных конфет досталось каждому внуку. Тогда $n \cdot x = 8$. Фраза «если бы было на 15 больше, то их можно было бы разделить поровну» означает: $15 = k \cdot x$, где $k$ — целое число. Число $x$ должно быть делителем и 15, и 8. Но у 15 (делители: 1, 3, 5, 15) и 8 (делители: 1, 2, 4, 8) нет общих делителей, кроме 1. Однако бабушка делит конфеты между «внуками» (множественное число), значит их минимум 2. Перечитаем условие: возможно, под «делением поровну» во втором случае имеется в виду, что добавка в 9 конфет распределяется так, что каждому достается еще по сколько-то и 1 остается. Если $x = 7$: - 15 не делится на 7. Если $x = 14$: - 15 не делится на 14. Единственный вариант, когда 15 делится на $x$, а 8 делится на $x$ — это $x = 1$. Но внуков несколько. Проверим еще раз: если добавить 15, делится нацело. Если добавить 9, остается 1. Разница между добавками: $15 - 9 = 6$ конфет. Эти 6 конфет «убирают» остаток 1 и делают деление нацело. Значит, $6 + 1 = 7$ конфет распределились бы между внуками поровну по одной или более штук. То есть количество внуков $x = 7$. Проверка: 1. 15 делится на 7? Нет, остаток 1. Условие «можно было бы разделить поровну» означает, что само конечное число делится на $x$. Пусть изначально было $C$ конфет. $(C + 15) \div x$ — нацело. $(C + 9) \div x$ — остаток 1. Вычтем из первого второе: $(C + 15) - (C + 9) = 6$. При уменьшении делимого на 6, остаток увеличился с 0 до 1? Это невозможно. Вероятно, в условии ошибка или имеется в виду, что $x$ — это делитель разности. Если $(C + 15)$ делится на $x$, а $(C + 9)$ дает остаток 1, то разница $15 - 9 = 6$ должна при делении на $x$ давать остаток $0 - 1 = -1$ (что эквивалентно остатку $x - 1$). Значит, $x - 1 = 6$, откуда $x = 7$. Проверим $x = 7$: - Если добавить 15 конфет: $15 = 2 \cdot 7 + 1$. Чтобы делилось нацело, исходное количество $C$ должно давать остаток 6 при делении на 7 ($6 + 1 = 7$). - Если добавить 9 конфет: $9 = 1 \cdot 7 + 2$. Если $C$ дает остаток 6, то $6 + 2 = 8$. $8$ при делении на 7 дает остаток 1. Условие выполняется. **Ответ: 7**