найдите угол между плоскостями

Для решения задач на поиск угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ воспользуемся определением линейного угла двугранного угла. В обоих случаях линия пересечения плоскостей — прямая $a$. **Задача 3** 1. На чертеже проведены перпендикуляры к линии пересечения: $AB \perp a$ в плоскости $\alpha$ и $BC \perp a$ в плоскости $\beta$. Значит, $\angle ABC$ — линейный угол двугранного угла. 2. В треугольнике $ABC$ известны стороны: $AB = 4$, $BC = 6$, $AC = 2\sqrt{7}$. 3. По теореме косинусов для $\angle ABC$ ($\phi$): $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \phi$ $(2\sqrt{7})^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos \phi$ $28 = 16 + 36 - 48 \cos \phi$ $28 = 52 - 48 \cos \phi$ $48 \cos \phi = 24$ $\cos \phi = \frac{24}{48} = 0,5$ $\phi = 60^\circ$ **Ответ: 60°** **Задача 4** 1. Дано: $AA_1 \perp a$, $BB_1 \perp a$. Проекция отрезка $AB$ на прямую $a$ равна $A_1B_1 = 10$. Длина самого отрезка $AB = 11$. 2. Расстояние между основаниями перпендикуляров $A_1$ и $B_1$ на прямой $a$ равно 10. Построим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — отрезок $AB$. 3. Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле: $AB^2 = AA_1^2 + BB_1^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot BB_1 \cdot \cos \phi + A_1B_1^2$ Где $\phi$ — угол между плоскостями. Однако на чертеже указаны длины $AA_1 = 5$ и $BB_1 = 4$. 4. Подставим значения: $11^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos \phi + 10^2$ $121 = 25 + 16 - 40 \cos \phi + 100$ $121 = 141 - 40 \cos \phi$ $40 \cos \phi = 141 - 121$ $40 \cos \phi = 20$ $\cos \phi = \frac{20}{40} = 0,5$ $\phi = 60^\circ$ **Ответ: 60°**