В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите AC и cos C.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($∠D = 90^?$, так как $AD$ — высота). По теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическоле проекций катетов: $AD^2 = BD \cdot DC$. $12^2 = 16 \cdot DC \Rightarrow 144 = 16 \cdot DC \Rightarrow DC = 9$ см. Тогда гипотенуза $BC = BD + DC = 16 + 9 = 25$ см. Из $\triangle ADC$ ($∠D = 90^?$): $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $\cos C = \frac{DC}{AC} = \frac{9}{15} = 0,6$. **Ответ: $AC = 15$ см, $\cos C = 0,6$.** 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABD$ ($∠ADB = 90^?$). $BD = AB \cdot \sin A = 12 \cdot \sin 60^? = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. $AD = AB \cdot \cos A = 12 \cdot \cos 60^? = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. Площадь параллелограмма: $S = AD \cdot BD$ (так как $BD \perp AD$, $BD$ — высота). $S = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $36\sqrt{3}$ см$^2$.** 3. Проведем высоту $h$ из вершины трапеции к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, где $h$ — катет. $h = 5\sqrt{2} \cdot \sin 45^? = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ см. Площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12+20}{2} \cdot 5 = \frac{32}{2} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$ см$^2$. **Ответ: 80 см$^2$.**