В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна b см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Question

Вопрос:

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна b см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Площадь основания ($S_{осн}$):** В основании лежит правильный треугольник со стороной $b$. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$ 2. **Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):** По теореме о проекции плоской фигуры: площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла $\alpha$ между плоскостями. Основание является проекцией боковой поверхности на плоскость основания, значит: $S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos\alpha \Rightarrow S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4\cos\alpha}$ 3. **Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):** $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4\cos\alpha} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} (1 + \frac{1}{\cos\alpha}) = \frac{b^2\sqrt{3}(1 + \cos\alpha)}{4\cos\alpha}$ Используя тригонометрическую формулу $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$: $S_{полн} = \frac{b^2\sqrt{3} \cdot 2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{4\cos\alpha} = \frac{b^2\sqrt{3}\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos\alpha}$ **Ответ:** $\frac{b^2\sqrt{3}(1 + \cos\alpha)}{4\cos\alpha}$ см$^2$.

Ответ ассистента

Другие решения