В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BH к гипотенузе AC. Найдите длину BC, если AH = 5, BH = 12.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота, угол $BHA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. 2. Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике $ABC$: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. $BH^2 = AH \cdot HC$ $12^2 = 5 \cdot HC$ $144 = 5 \cdot HC$ $HC = 144 / 5 = 28,8$. 3. Теперь найдём длину гипотенузы $AC$: $AC = AH + HC = 5 + 28,8 = 33,8$. 4. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора найдём катет $BC$: $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{33,8^2 - 13^2} = \sqrt{1142,44 - 169} = \sqrt{973,44} = 31,2$. *Альтернативный способ через треугольник BHC:* $BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{12^2 + 28,8^2} = \sqrt{144 + 829,44} = \sqrt{973,44} = 31,2$. **Ответ: 31,2.**