Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

1. Пусть сторона квадрата в основании равна $a$, а высота параллелепипеда — $h$. По условию измерения относятся как $1:1:2$, значит стороны основания равны $x$ и $x$, а высота $2x$. 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, где $a, b, c$ — его измерения. $(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$ $4 \cdot 6 = 2x^2 + 4x^2$ $24 = 6x^2$ $x^2 = 4$ $x = 2$. Измерения: $a = 2$, $b = 2$, $c = 4$. а) **Ответ: 2, 2, 4**. 3. Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания — это угол между диагональю параллелепипеда ($d = 2\sqrt{6}$) и диагональю основания ($d_{осн}$). Диагональ квадрата в основании $d_{осн} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Высота параллелепипеда $h = 4$. Синус угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (диагонали параллелепипеда): $\sin\alpha = \frac{h}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. б) **Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$**.