Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2√6, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Контрольная работа № 2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» **Вариант 2** **№ 1.** Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. По условию в основании квадрат, значит $a = b$. Отношение измерений $1:1:2$, следовательно: $a = x$, $b = x$, $c = 2x$. а) Найдем измерения параллелепипеда. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим известные значения: $(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$ $4 \cdot 6 = 2x^2 + 4x^2$ $24 = 6x^2$ $x^2 = 4$ $x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной). Измерения параллелепипеда: $a = 2$, $b = 2$, $c = 2 \cdot 2 = 4$. б) Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда $d$ и плоскостью основания — это угол между диагональю и её проекцией на это основание (диагональю основания $d_{осн}$). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром (высотой $c$): $\sin\alpha = \frac{c}{d}$ $\sin\alpha = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. **Ответ: а) 2; 2; 4; б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$.**