Вариант 3. 1. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x), если F(x) = 2sqrt(x) + cos x, f(x) = 1/sqrt(x) - sin x. 2. Найдите первообразную для функции: а) y = -1/sqrt(x+1) - 3x^2; б) y = 3/sin^2 x. 3. Для функции y = (x/3 - 2)^2 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A(6; 1).

Question

Вопрос:

Вариант 3. 1. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x), если F(x) = 2sqrt(x) + cos x, f(x) = 1/sqrt(x) - sin x. 2. Найдите первообразную для функции: а) y = -1/sqrt(x+1) - 3x^2; б) y = 3/sin^2 x. 3. Для функции y = (x/3 - 2)^2 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A(6; 1).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно показать, что $F'(x) = f(x)$. Найдём производную функции $F(x) = 2\sqrt{x} + \cos x$: $F'(x) = (2\sqrt{x})' + (\cos x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sin x = \frac{1}{\sqrt{x}} - \sin x$. Так как $F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \sin x$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \sin x$, то $F'(x) = f(x)$. Что и требовалось доказать. 2. Найдём общие первообразные $F(x) = \int y dx$: а) $y = -\frac{1}{\sqrt{x+1}} - 3x^2$ $F(x) = -2\sqrt{x+1} - \frac{3x^3}{3} + C = -2\sqrt{x+1} - x^3 + C$ б) $y = \frac{3}{\sin^2 x}$ $F(x) = 3 \cdot (-\text{ctg } x) + C = -3\text{ctg } x + C$ 3. Для функции $y = (\frac{x}{3} - 2)^2$ найдём первообразную, график которой проходит через точку $A(6; 1)$. Сначала найдём общую первообразную: $F(x) = \int (\frac{x}{3} - 2)^2 dx = \frac{(\frac{x}{3} - 2)^3}{3 \cdot \frac{1}{3}} + C = (\frac{x}{3} - 2)^3 + C$ Подставим координаты точки $A(6; 1)$, где $x=6, F(x)=1$: $1 = (\frac{6}{3} - 2)^3 + C$ $1 = (2 - 2)^3 + C$ $1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$ Искомая первообразная: $F(x) = (\frac{x}{3} - 2)^3 + 1$. Ответ: 1. Доказано; 2. а) $-2\sqrt{x+1} - x^3 + C$, б) $-3\text{ctg } x + C$; 3. $F(x) = (\frac{x}{3} - 2)^3 + 1$.

Ответ ассистента

Другие решения