1. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В треугольнике сумма углов равна $180^{\circ}$. Если один угол $90^{\circ}$, а второй $30^{\circ}$, то третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. По условию $AB < BC < AC$, значит, против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Сторона $AC$ самая большая — против неё лежит $\angle B = 90^{\circ}$. Сторона $AB$ самая маленькая — против неё лежит $\angle C = 30^{\circ}$. Средняя сторона $BC$ — против неё лежит $\angle A = 60^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$**. 2. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. Так как $\angle A = 90^{\circ}$, то $\angle B + \angle C = 90^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$**. 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 70^{\circ}$, тогда $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. Если $BD$ — биссектриса угла $B$, то в $\triangle BCD$: $\angle CBD = \angle B : 2 = 20^{\circ} : 2 = 10^{\circ}$. $\angle BCD = 90^{\circ}$ (из условия). $\angle BDC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 10^{\circ}) = 80^{\circ}$. **Ответ: $10^{\circ}, 90^{\circ}, 80^{\circ}$**. 4. Пусть одна сторона $x$, другая $x - 13$. Случай 1: Основание $x$, боковые стороны по $x - 13$. $x + 2(x - 13) = 50$ $3x - 26 = 50 \Rightarrow 3x = 76 \Rightarrow x = 25\frac{1}{3}$ см. Стороны: $25\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}$. Случай 2: Боковые стороны по $x$, основание $x - 13$. $2x + (x - 13) = 50$ $3x = 63 \Rightarrow x = 21$ см. Стороны: $21, 21, 8$ см. **Ответ: $25\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}$ см или $21, 21, 8$ см**.