Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Question

Вопрос:

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных к окружности, проведенных из одной точки. 1. Касательные $MA$ и $MB$, проведенные из точки $M$, равны по свойству: $MA = MB = 18$. 2. Треугольник $MAB$ — равнобедренный ($MA = MB$). 3. В четырехугольнике $OAMB$ углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ прямые ($90^\circ$), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 4. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 5. Так как треугольник $MAB$ равнобедренный и угол при вершине $M$ равен $60^\circ$, то углы при основании $A$ и $B$ также равны $60^\circ$ ($ (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ $). 6. Следовательно, треугольник $MAB$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все стороны равны. $AB = MA = MB = 18$. **Ответ: 18**

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Ответ ассистента

Другие решения