Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 144. Найдите высоту призмы.

3. 1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$), которое является прямоугольным треугольником с катетами $a = 6$ и $b = 8$: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. 2. Найдём гипотенузу основания ($c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$. 3. Периметр основания ($P_{осн}$): $P_{осн} = 6 + 8 + 10 = 24$. 4. Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$ $144 = 2 \cdot 24 + S_{бок} \Rightarrow S_{бок} = 144 - 48 = 96$. 5. Высота призмы ($h$) находится из формулы $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$: $h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{96}{24} = 4$. **Ответ: 4**. 4. 1. Периметр основания правильной шестиугольной призмы ($P_{осн}$) со стороной $a = 6$: $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36$. 2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) при высоте $h = 2$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 36 \cdot 2 = 72$. **Ответ: 72**. 5. 1. Плоскость, проведённая через среднюю линию основания параллельно боковому ребру, отсекает призму, периметр основания которой в 2 раза меньше периметра основания исходной призмы (так как средняя линия в 2 раза меньше стороны, которой она параллельна, а остальные две стороны отсекаемого треугольника — это половины сторон исходного). 2. Высота ($h$) у обеих призм общая. 3. Формула боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Так как $P_{исходной} = 2 \cdot P_{отсеченной}$, то и $S_{бок.исходной} = 2 \cdot S_{бок.отсеченной} = 2 \cdot 13 = 26$. **Ответ: 26**.