Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Question

Вопрос:

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим четырёхугольник $OAMB$. Так как $MA$ и $MB$ — касательные, то радиусы $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$ (по свойству касательной). Значит, $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$. 2. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. Найдём $\angle AMB$: $\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 3. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки, $MA = MB = 18$. Следовательно, $\triangle AMB$ — равнобедренный. 4. Так как в равнобедренном треугольнике $AMB$ угол при вершине $\angle AMB = 60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним (углы при основании $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$). 5. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, $AB = MA = 18$. **Ответ: 18**

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Ответ ассистента

Другие решения