Контрольная работа по теме: Перпендикулярность прямых и плоскости. 1 вариант. 1.В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6,8,10. Найдите диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

На изображении представлены два варианта контрольной работы. Решу задания для **1 варианта**. 1. Дано: $a=6, b=8, c=10$. Найдём диагональ по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$: $d = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14,14$ см. Угол $\alpha$ между диагональю и плоскостью основания: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{d} = \frac{\sqrt{36+64}}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Ответ: $10\sqrt{2}$ см; $45^\circ$. 2. Дано: ромб $ABCD$, $AB=5$ см, $BD=6$ см, $OK \perp (ABC)$, $OK=8$ см. $O$ — точка пересечения диагоналей. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой $O$ пополам: $BO = OD = 3$ см. Из $\triangle ABO$ ($ \angle O = 90^\circ$): $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см. Расстояния до вершин — это гипотенузы прямоугольных треугольников с катетом $OK$: $KD = KB = \sqrt{OK^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ см. $KA = KC = \sqrt{OK^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. Ответ: $\sqrt{73}$ см и $4\sqrt{5}$ см. 3. Дано: диагональ куба $d=6$ см. Формула диагонали куба через ребро $a$: $d = a\sqrt{3}$. $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см. Угол $\beta$ между диагональю куба и гранью: $\sin \beta = \frac{a}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем основное тригонометрическое тождество для косинуса: $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = \frac{6}{9}$. $\cos \beta = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Ответ: $2\sqrt{3}$ см; $\frac{\sqrt{6}}{3}$.