Трое друзей играли во дворе в футбол и разбили мячом окно. Ваня сказал: «Это я разбил окно, Коля окно не разбивал». Коля сказал: «Это сделал не я и не Саша». Саша сказал: «Это сделал не я и не Ваня». Бабушка видела всё и сообщила, что только один мальчик оба раза сказал правду. Кто это сделал?

Для решения логической задачи составим таблицу истинности. Обозначим имена мальчиков буквами: $B$ — Ваня, $K$ — Коля, $S$ — Саша. Известно, что окно разбил только один человек, поэтому истинной может быть только одна из этих переменных. Запишем высказывания мальчиков: 1. Ваня: «Это я разбил окно ($B$), Коля окно не разбивал ($\neg K$)». 2. Коля: «Это сделал не я ($\neg K$) и не Саша ($\neg S$)». 3. Саша: «Это сделал не я ($\neg S$) и не Ваня ($\neg B$)». Бабушка сказала, что только один мальчик оба раза сказал правду. Это значит, что для одного из мальчиков обе части его высказывания должны быть истинными ($1$), а для остальных — нет. Рассмотрим три ситуации: | Кто разбил | $B$ | $K$ | $S$ | Слова $B$ ($B$ и $\neg K$) | Слова $K$ ($\neg K$ и $\neg S$) | Слова $S$ ($\neg S$ и $\neg B$) | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **Ваня** ($B=1$) | 1 | 0 | 0 | **1** ($1$ и $1$) | 0 ($1$ и $1$ — нет, так как $S=0$) | 0 ($1$ и $0$) | | **Коля** ($K=1$) | 0 | 1 | 0 | 0 ($0$ и $0$) | 0 ($0$ и $1$) | 1 ($1$ и $1$) | | **Саша** ($S=1$) | 0 | 0 | 1 | 0 ($0$ и $1$) | 0 ($1$ и $0$) | 0 ($0$ и $1$) | Анализ таблицы: - Если окно разбил Ваня, то только он сказал правду дважды (столбец «Слова $B$» равен $1$, остальные не равны $1$ целиком). - Если окно разбил Коля, то только Саша сказал правду дважды. - Если окно разбил Саша, то никто не сказал правду дважды. По условию только **один** мальчик оба раза сказал правду. В нашей таблице это условие выполняется в двух случаях (когда разбил Ваня или когда разбил Коля). Однако, если мы перечитаем условие «только один мальчик оба раза сказал правду», это относится к результату проверки. Если окно разбил Ваня, то только Ваня — честный. Если Коля — то только Саша честный. Обычно в таких задачах подразумевается, что остальные мальчики при этом соврали хотя бы один раз. В обоих случаях (разбил Ваня или Коля) это условие соблюдается. Проверим ещё раз слова Коли: «Это сделал не я и не Саша». Если разбил Ваня, то Коля прав. Но бабушка сказала: **только один** мальчик прав в **обоих** высказываниях. Если окно разбил Ваня: - Ваня: $1$ и $1$ (Правда) - Коля: $1$ и $1$ (Правда) — **Противоречие**, так как прав должен быть только один. Если окно разбил Коля: - Ваня: $0$ и $0$ (Ложь) - Коля: $0$ и $1$ (Ложь) - Саша: $1$ и $1$ (Правда) Здесь только Саша сказал правду дважды. Это соответствует условию. Ответ: Коля.