2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2 см, проведена прямая ОМ, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если ОМ = 4 см. 3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 6 м, BD = 7 м, СD = 6 м.

### Задача 2 1. Найдём половину диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a = 2\text{ см}$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\text{ см}$. Точка $O$ — центр квадрата, значит, расстояние от неё до любой вершины $R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\text{ см}$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром $OM$, половиной диагонали и искомым расстоянием от точки $M$ до вершины (гипотенуза). По теореме Пифагора: $MA = \sqrt{OM^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ см}$. **Ответ: $3\sqrt{2}\text{ см}$** ### Задача 3 1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а $c$ — прямая их пересечения. $AC \perp c$ и $BD \perp c$. Так как плоскости перпендикулярны, отрезок $AC$ будет перпендикулярен любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через $C$. 2. Проведём в плоскости $\beta$ отрезок $AD_1$, параллельный и равный $CD$. Тогда треугольник $ABD$ в пространстве можно рассмотреть через проекции. Квадрат расстояния между точками в перпендикулярных плоскостях вычисляется по формуле: $AB^2 = AC^2 + CD^2 + BD^2$. $AB = \sqrt{6^2 + 6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 36 + 49} = \sqrt{121} = 11\text{ м}$. **Ответ: 11 м**