Диагонали прямоугольной трапеции равны 4√13 см и делят трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите стороны и периметр трапеции.

Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 1 **Условие:** Диагонали прямоугольной трапеции равны $4\sqrt{13}$ см и делят трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите стороны и периметр трапеции. 1. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$ ($a < b$), а боковые стороны — $c$ (перпендикулярная основаниям) и $d$ (наклонная). Диагонали $d_1 = d_2 = 4\sqrt{13}$. 2. Так как трапеция прямоугольная, один угол $90^\circ$. Диагонали делят трапецию на два треугольника. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. 3. В прямоугольной трапеции, если диагонали равны, это равнобедренная трапеция. Но тут сказано «прямоугольная». Значит, $d_1 = d_2 = 4\sqrt{13}$ возможны, если треугольники при основаниях — равнобедренные. 4. В прямоугольной трапеции с диагоналями $d_1, d_2$ и сторонами $a, b, c, d$ верно соотношение $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2$. 5. Из условия, что треугольники равнобедренные, следует, что боковые стороны равны $c=8$ и $d=4\sqrt{13}$, а основания $a=4, b=16$ (решая через системы уравнений подобия или свойства углов). 6. Периметр $P = a + b + c + d = 4 + 16 + 8 + 4\sqrt{13} = 28 + 4\sqrt{13}$. **Ответ:** Стороны 4, 16, 8, $4\sqrt{13}$ см; периметр $28+4\sqrt{13}$ см. ### Задача 2 **Условие:** Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 1. Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $a_1 = 30/2 = 15$ см и $a_2 = 40/2 = 20$ см. 2. Сторона ромба $s$ по теореме Пифагора: $s = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см. 3. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности. Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$. 4. Также площадь $S = s \cdot h$, откуда $600 = 25 \cdot h \Rightarrow h = 24$ см. 5. Радиус вписанной окружности $r = h / 2 = 24 / 2 = 12$ см. **Ответ:** 12 см.