В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и составляет с бо́льшим основанием угол, равный 30°. Найдите площадь трапеции, если её боковая сторона равна 6 см.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $AB = CD = 6$ см, $AD$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$, так что $AC \perp CD$ (угол $\angle ACD = 90^\circ$) и $\angle CAD = 30^\circ$. 1. В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ лежит против угла в $30^\circ$, значит гипотенуза $AD = 2 \cdot CD = 2 \cdot 6 = 12$ см. 2. Найдём углы трапеции. В $\triangle ACD$ угол $\angle D = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как трапеция равнобедренная, углы при основании равны: $\angle A = \angle D = 60^\circ$. 3. Найдём угол $\angle BAC = \angle A - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. 4. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$ (накрест лежащие углы). Получаем, что в $\triangle ABC$ два угла равны по $30^\circ$, значит он равнобедренный: $BC = AB = 6$ см. 5. Проведём высоту $CH$. В прямоугольном $\triangle CHD$ гипотенуза $CD = 6$ см, а $\angle D = 60^\circ$. $CH = CD \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. 6. Площадь трапеции: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = \frac{6 + 12}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^2$.**