Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠BAD = 45° и расстояние от точки B до плоскости ADM равно 4√3.

Для решения задачи воспользуемся определением линейного угла двугранного угла и тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках. 1. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADM$ — это перпендикуляр $BM$, следовательно, $BM = 4\sqrt{3}$. 2. Проведём перпендикуляр $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. По условию $ABCD$ — ромб, поэтому сторона $AB$ равна стороне $AD$. 3. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, отрезок $MH$ также будет перпендикулярен $AD$ ($BM \perp ADM, BH \perp AD \Rightarrow MH \perp AD$). 4. Угол $BHM$ является линейным углом двугранного угла $BADM$, значит, $\angle BHM = 60^{\circ}$. 5. В прямоугольном треугольнике $BHM$ (где $\angle BMH = 90^{\circ}$): $BH = \frac{BM}{\sin 60^{\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$. 6. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle AHB = 90^{\circ}$ и $\angle BAH = 45^{\circ}$ по условию): $AB = \frac{BH}{\sin 45^{\circ}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$. Так как у ромба все стороны равны, искомая сторона ромба равна $8\sqrt{2}$. **Ответ: $8\sqrt{2}$**