Треугольник ACB — прямоугольный (∠C = 90°), AC = CB = 3 см. Треугольник AMC имеет общую сторону AC с треугольником ACB, AM = CM = √6 см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Докажите, что MC ⊥ BC. Найдите угол между MB и плоскостью ABC. Найдите расстояние от точки E — середины AB до плоскости BMC.

1) Доказательство: Так как плоскости $AMC$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны по условию и пересекаются по прямой $AC$, а в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ (т.е. $BC \perp AC$), то по теореме о перпендикулярности двух плоскостей прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$ и перпендикулярная линии пересечения $AC$, перпендикулярна всей плоскости $AMC$. Следовательно, $BC \perp MC$, так как $MC$ лежит в плоскости $AMC$. 2) Решение: Пусть $MH$ — высота треугольника $AMC$, опущенная на сторону $AC$. Так как $\triangle AMC$ равнобедренный ($AM=CM=\sqrt{6}$), $H$ — середина $AC$. Значит, $AH = HC = 1{,}5$ см. Из $\triangle MHC$ по теореме Пифагора: $MH = \sqrt{CM^2 - HC^2} = \sqrt{6 - 2{,}25} = \sqrt{3{,}75}$ см. Так как $(AMC) \perp (ABC)$, то $MH \perp (ABC)$. Тогда $\angle MBH$ — искомый угол между прямой $MB$ и плоскостью $ABC$. В $\triangle HBC$ (прямоугольный, $\angle C=90^\circ$): $HB = \sqrt{HC^2 + CB^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 3^2} = \sqrt{2{,}25 + 9} = \sqrt{11{,}25}$ см. $\operatorname{tg} \angle MBH = \frac{MH}{HB} = \frac{\sqrt{3{,}75}}{\sqrt{11{,}25}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\angle MBH = 30^\circ$. 3*) Решение: Расстояние от $E$ до $(BMC)$ равно высоте пирамиды $EBMC$, опущенной из $E$. Заметим, что $BC \perp (AMC)$, значит $BC$ — высота пирамиды $MCBE$, если считать основанием $\triangle MCE$. $V_{MCBE} = \frac{1}{3} S_{MCE} \cdot BC = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot MH_{пир}$. Удобнее использовать метод объемов или проекций. Расстояние $d$ от точки $E$ до $(BMC)$ равно $d = \frac{3 V_{BCME}}{S_{BMC}}$. $S_{BMC} = \frac{1}{2} BC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} = 1{,}5\sqrt{6}$. Т.к. $E$ — середина $AB$, то расстояние от $E$ до $(AMC)$ равно половине расстояния от $B$ до $(AMC)$, т.е. $0{,}5 \cdot BC = 1{,}5$. $S_{AMC} = \frac{1}{2} AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3{,}75}$. Объем $V_{E-AMC} = \frac{1}{3} S_{AMC} \cdot 1{,}5 = \frac{1}{3} S_{BMC} \cdot d$. $d = \frac{S_{AMC} \cdot 1{,}5}{S_{BMC}} = \frac{0{,}5 \cdot 3 \cdot \sqrt{3{,}75} \cdot 1{,}5}{1{,}5 \sqrt{6}} = \frac{1{,}5 \cdot \sqrt{3{,}75}}{\sqrt{6}} = 1{,}5 \cdot \sqrt{\frac{3{,}75}{6}} = 1{,}5 \cdot \sqrt{0{,}625} = 1{,}5 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{10}}{8}$ см. Ответ: 2) 30°; 3*) $\frac{3\sqrt{10}}{8}$ см.