Дано: треугольник ABC, угол C = 90 градусов, AC = BC = 4 см. Расстояние от точки M до плоскости ABC равно 2 корня из 3. Доказать: 1) плоскость AMB перпендикулярна ABC. Найти: 2) угол между плоскостями BMC и ABC, 3) угол между прямой MC и плоскостью ABC.

**Допущение:** в задаче не указано положение проекции точки $M$ на плоскость $(ABC)$. Исходя из стандартных школьных задач такого типа и условия пункта 1 (доказать перпендикулярность плоскостей), предположим, что точка $M$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, а её проекция $H$ на плоскость $(ABC)$ является серединой гипотенузы $AB$. Без этого допущения пункт 1 доказать невозможно. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = BC = 4\,см$. Расстояние от $M$ до $(ABC) = MH = 2\sqrt{3}$. 1) **Доказать $(AMB) \perp (ABC)$**: По допущению, проекция точки $M$ (высота $MH$) лежит на прямой $AB$. Так как прямая $MH$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ по определению расстояния от точки до плоскости, а плоскость $(AMB)$ проходит через эту прямую $MH$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(AMB) \perp (ABC)$. 2) **Найти угол между $(BMC)$ и $(ABC)$**: Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла. Линия пересечения плоскостей — $BC$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($AC \perp BC$), то $AC$ — проекция наклонной $MC$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, если $BC \perp AC$, то $BC \perp MC$. Значит, искомый угол — это $\angle MCA$. В $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$. Высота (медиана) $CH = \frac{1}{2} AB = 2\sqrt{2}$ (свойство прямоугольного равнобедренного треугольника). В прямоугольном $\triangle MHC$ (где $\angle MHC = 90^{\circ}$): $\text{tg}(\angle MCH) = \frac{MH}{CH} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. $\angle MCH = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$. *Примечание: если под углом плоскости (BMC) с плоскостью (ABC) подразумевается двугранный угол при ребре BC, то искомый угол — $\angle MCH$.* 3) **Найти угол между прямой $MC$ и плоскостью $(ABC)$**: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекция $MC$ на $(ABC)$ — это отрезок $CH$. Искомый угол — $\angle MCH$. Из расчетов выше: $\text{tg}(\angle MCH) = \frac{\sqrt{6}}{2}$. $\angle MCH = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$. **Ответ:** 2) $\text{arctg}\frac{\sqrt{6}}{2}$; 3) $\text{arctg}\frac{\sqrt{6}}{2}$.