Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма. 1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCM$. По условию середина диагонали $BM$ совпадает с серединой диагонали $AC$. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $ABCM$ — параллелограмм. Из этого следует, что стороны $AM$ и $BC$ параллельны: $AM \parallel BC$. 2. Рассмотрим четырёхугольник $BCNA$. По условию середина диагонали $CN$ совпадает с серединой диагонали $AB$. Следовательно, $BCNA$ — параллелограмм. Из этого следует, что стороны $AN$ и $BC$ параллельны: $AN \parallel BC$. 3. Мы получили, что через точку $A$ проходят две прямые $AM$ и $AN$, которые параллельны одной и той же прямой $BC$. Согласно аксиоме параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямые $AM$ и $AN$ совпадают. Это доказывает, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой. **Ответ: доказано.**