Варіант 2. 1. Знайдіть градусну міру кута DCE на рисунку 76.

### Вариант 2 **1. Найдите градусную меру угла $DCE$ на рисунке 76.** 1) Рассмотрим прямые $FE$ и $MK$ и секущую $AB$. $\angle FAB = 104^{\circ}$, $\angle ABM = 76^{\circ}$. Сумма односторонних углов: $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, $FE \parallel MK$ (по признаку параллельности прямых). 2) Так как $FE \parallel MK$, то накрест лежащие углы при секущей $CD$ равны: $\angle DCE = \angle CDK$. На рисунке $\angle CDK = 40^{\circ}$, значит, $\angle DCE = 40^{\circ}$. **Ответ:** $40^{\circ}$. **2. Какова градусная мера угла $F$, изображенного на рисунке 77?** 1) Из треугольника $MKN$ найдем внешний угол $\angle KNP$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, но проще использовать свойство внешнего угла: $\angle KNP = \angle KMN + \angle MKN = 24^{\circ} + 72^{\circ} = 96^{\circ}$. 2) Рассмотрим треугольник $NPF$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. $\angle NPF = 180^{\circ} - \angle MPF = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$ (смежные углы). Но на рисунке угол отмечен как $38^{\circ}$ (вероятно, это $\angle NPF$). Если $\angle NPF = 38^{\circ}$, а внешний $\angle KNP = 96^{\circ}$, то по свойству внешнего угла для $\triangle NPF$: $\angle KNP = \angle NPF + \angle F \Rightarrow 96^{\circ} = 38^{\circ} + \angle F \Rightarrow \angle F = 96^{\circ} - 38^{\circ} = 58^{\circ}$. **Ответ:** $58^{\circ}$. **3. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, отрезок $BM$ — биссектриса треугольника. Найдите катет $AC$, если $BM = 6$ см.** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle CBM = \angle ABM = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) Рассмотрим $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 4) Рассмотрим прямоугольный $\triangle CBM$: $\angle CBM = 30^{\circ}$. Катет $MC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ:** $9$ см. **4. Известно, что $BC \parallel AD$, $BF = DE$, $\angle AED = \angle CFB$ (рис. 78). Докажите, что $AB \parallel CD$.** 1) Рассмотрим $\triangle BFC$ и $\triangle DEA$. $BC \parallel AD$, значит $\angle CBF = \angle ADE$ (накрест лежащие при секущей $BD$). $BF = DE$ (по условию), $\angle CFB = \angle AED$ (по условию). Значит, $\triangle BFC = \triangle DEA$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам). 2) Из равенства треугольников следует, что $BC = AD$. 3) В четырехугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны ($BC = AD, BC \parallel AD$). По признаку параллелограмма $ABCD$ — параллелограмм. У параллелограмма противолежащие стороны параллельны, значит $AB \parallel CD$, что и требовалось доказать. **5. В треугольнике $MNK$ известно, что $MN = 0,9$ см, $MK = 3,7$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если ее длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.** По неравенству треугольника: $MK - MN < NK < MK + MN$. $3,7 - 0,9 < NK < 3,7 + 0,9$ $2,8 < NK < 4,6$ Целое число в этом промежутке — это $3$ или $4$. **Ответ:** $3$ см или $4$ см. **6. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Точка $K$ — середина стороны $AB$. Известно, что $A_1 B_1 = \frac{1}{2} AB$. Найдите угол $A_1 KB_1$.** 1) В прямоугольном $\triangle AA_1 B$ отрезок $A_1 K$ — медиана к гипотенузе $AB$, значит $A_1 K = \frac{1}{2} AB$. Аналогично в $\triangle BB_1 A$ медиана $B_1 K = \frac{1}{2} AB$. 2) По условию $A_1 B_1 = \frac{1}{2} AB$. Значит, в $\triangle A_1 KB_1$ все стороны равны: $A_1 K = B_1 K = A_1 B_1 = \frac{1}{2} AB$. 3) Треугольник $A_1 KB_1$ — равносторонний, следовательно, все его углы равны $60^{\circ}$. **Ответ:** $60^{\circ}$.