Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B = 120^\circ$. Тогда углы при основании: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. Проведём высоту $AH$ к боковой стороне $BC$ (или её продолжению). В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой ($120^\circ$), поэтому высота $AH$ упадёт на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle H = 90^\circ$). 2. В этом треугольнике гипотенузой является основание исходного треугольника $AC$, а катетом — высота $AH = 9$ см. 3. Угол $\angle C$ в этом треугольнике равен $30^\circ$ (как угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$). 4. По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $AH = \frac{1}{2} AC \Rightarrow AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$ см. **Ответ: 18 см.** **Ответ на вопрос:** В прямоугольном треугольнике, который образовался при проведении высоты ($AHC$), один угол прямой ($90^\circ$), а второй ($\angle C$) равен $30^\circ$, потому что в исходном равнобедренном треугольнике углы при основании вычисляются как $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$.