Дано: α и β пересекаются по прямой n. Найдите угол между плоскостями α и β.

1. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен линейному углу двугранного угла, образованного этими плоскостями. Из рисунка видно, что $AC \perp n$ и $BC \perp n$, значит, искомый угол — это $\angle ACB$. 2. Из прямоугольного треугольника $ABC$ (так как $AC \perp n$ и $BC \perp n$, а $AC$ лежит в $\alpha$, $BC$ в $\beta$), по определению синуса в $\triangle ACB$ с прямым углом при вершине $C$: $\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$ — не подходит, так как нам нужны стороны, образующие угол $C$. Рассмотрим треугольник $ABC$ подробнее. По чертежу $AC = 12$, высота из $A$ на плоскость $\beta$ (отрезок $AB$ или перпендикуляр к $n$?) требует уточнения. Допущение: на чертеже $AC=12$ — гипотенуза или катет? Судя по обозначениям прямых углов у линии пересечения $n$, $AC=12$ и $BC$ (не задано) — катеты в своих плоскостях. Отрезок $AB$ соединяет точки в плоскостях. Если рассматривать треугольник, где $AC=12$, а высота (перпендикуляр из $A$ на плоскость $\beta$) равна $6\sqrt{3}$: $\sin(\angle ACB) = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\angle ACB = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^{\circ}$. **Ответ: 60^{\circ}**