13. а) Решите уравнение $\operatorname{tg}(6x - \pi) - \sin 6x = 2\sin^2 3x$. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$.

### Решение уравнения Дано уравнение: $\operatorname{tg}(6x - \pi) - \sin 6x = 2\sin^2 3x$ **1. ОДЗ (Область допустимых значений):** Тангенс определен, если $\cos(6x - \pi) \neq 0$. Так как $\cos(6x - \pi) = -\cos(6x)$, условие принимает вид: $-\cos(6x) \neq 0 \Rightarrow \cos(6x) \neq 0$ $6x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$. **2. Решение уравнения:** Применим формулу приведения $\operatorname{tg}(\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$: $\operatorname{tg}(6x) - \sin 6x = 2\sin^2 3x$ Используем формулу понижения степени $2\sin^2 3x = 1 - \cos 6x$: $\operatorname{tg}(6x) - \sin 6x = 1 - \cos 6x$ $\operatorname{tg}(6x) - 1 = \sin 6x - \cos 6x$ Так как $\operatorname{tg}(6x) = \frac{\sin 6x}{\cos 6x}$, приведем к общему знаменателю: $\frac{\sin 6x - \cos 6x}{\cos 6x} = \sin 6x - \cos 6x$ $\frac{\sin 6x - \cos 6x}{\cos 6x} - (\sin 6x - \cos 6x) = 0$ $(\sin 6x - \cos 6x) \cdot (\frac{1}{\cos 6x} - 1) = 0$ Получаем два случая: 1) $\sin 6x - \cos 6x = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} 6x = 1$ $6x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\frac{1}{\cos 6x} = 1 \Rightarrow \cos 6x = 1$ $6x = 2\pi m \Rightarrow x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$. **3. Отбор корней на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$:** Отрезок можно представить как $[-\frac{8\pi}{24}; -\frac{4\pi}{24}]$. Для серии $x = \frac{\pi}{24} + \frac{4\pi n}{24}$: При $n = -1: x = -\frac{3\pi}{24} = -\frac{\pi}{8} \approx -0.125\pi$ (не входит, так как $>-0.166\pi$). При $n = -2: x = \frac{\pi - 8\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24}$ (входит: $-0.29\pi$ в промежутке). Для серии $x = \frac{8\pi m}{24}$: При $m = -1: x = -\frac{8\pi}{24} = -\frac{\pi}{3}$ (входит, это левый конец). **Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{6}$, $x = \frac{\pi m}{3}, n, m \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{3}, -\frac{7\pi}{24}$.