13. а) Решите уравнение tg(6x - π) - sin 6x = 2sin^2 3x.

### Решение уравнения Дано уравнение: $\text{tg}(6x - \pi) - \sin 6x = 2\sin^2 3x$ **1. ОДЗ (Область допустимых значений):** Функция тангенса $\text{tg}(\alpha)$ определена, когда $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае аргумент $6x - \pi$, поэтому: $6x - \pi \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ $6x \neq \frac{3\pi}{2} + \pi k$ $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$ **2. Решение:** Воспользуемся свойством тангенса $\text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(\alpha)$, значит $\text{tg}(6x - \pi) = \text{tg}(6x)$. Уравнение принимает вид: $\text{tg}(6x) - \sin 6x = 2\sin^2 3x$ Раскроем $\text{tg}(6x) = \frac{\sin 6x}{\cos 6x}$: $\frac{\sin 6x}{\cos 6x} - \sin 6x = 2\sin^2 3x$ $\frac{\sin 6x - \sin 6x \cos 6x}{\cos 6x} = 2\sin^2 3x$ $\sin 6x (1 - \cos 6x) = 2\sin^2 3x \cdot \cos 6x$ Используем формулы двойного угла $\sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x$ и $\cos 6x = 1 - 2 \sin^2 3x$ (отсюда $1 - \cos 6x = 2\sin^2 3x$): $2 \sin 3x \cos 3x \cdot (2\sin^2 3x) = 2\sin^2 3x \cdot \cos 6x$ $4 \sin^3 3x \cos 3x = 2\sin^2 3x \cos 6x$ Перенесем всё в левую часть: $2\sin^2 3x (2 \sin 3x \cos 3x - \cos 6x) = 0$ $2\sin^2 3x (\sin 6x - \cos 6x) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\sin^2 3x = 0 \Rightarrow \sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin 6x = \cos 6x \Rightarrow \text{tg} 6x = 1 \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{4} + \pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{6}, m \in \mathbb{Z}$ Проверка ОДЗ: корни вида $x = \frac{\pi n}{3}$ подходят. Корни вида $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{6}$ также подходят, так как $\frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{6} \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{6}$. ### Отбор корней на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$ 1) $x = \frac{\pi n}{3}$: При $n = -1: x = -\frac{\pi}{3}$ (подходит) При $n = 0: x = 0$ (не входит) 2) $x = \frac{\pi}{24} + \frac{4\pi m}{24} = \frac{\pi + 4\pi m}{24}$: При $m = -1: x = \frac{\pi - 4\pi}{24} = -\frac{3\pi}{24} = -\frac{\pi}{8}$. Проверим: $-\frac{\pi}{3} \approx -0,33\pi$, $-\frac{\pi}{6} \approx -0,166\pi$, $-0,125\pi$ не входит в отрезок. При $m = -2: x = \frac{\pi - 8\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24} \approx -0,29\pi$. Это число больше $-0,33\pi$ и меньше $-0,166\pi$, значит входит. **Ответ:** а) $x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{6}, n, m \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{\pi}{3}; -\frac{7\pi}{24}$