621. В треугольнике ABC BC = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины BC к прямой AC, делит сторону AC на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC. 622. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB = 5 см, BC = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, AC = 12 см.

621. **Решение:** 1. Найдём длину стороны $AC$: $AC = AN + NC = 25 + 15 = 40$ см. 2. Так как $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{BC}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNC$ (где $\angle MNC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём катет $MN$: $MN = \sqrt{MC^2 - NC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см. 4. Опустим высоту $BH$ треугольника $ABC$ на сторону $AC$. Треугольники $BHC$ и $MNC$ подобны по двум углам (общий угол $C$ и прямые углы), коэффициент подобия $k = \frac{BC}{MC} = \frac{34}{17} = 2$. Тогда высота $BH = 2 \cdot MN = 2 \cdot 8 = 16$ см. 5. Площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 16 = 320$ см$^2$. **Ответ: 320 см$^2$.** 622. **Решение:** 1. Площадь четырёхугольника $ABCD$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $ADC$. Найдём их по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. 2. Для $\triangle ABC$: $a=5, b=13, c=12$. $p = \frac{5+13+12}{2} = 15$ см. $S_{ABC} = \sqrt{15(15-5)(15-13)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{900} = 30$ см$^2$. 3. Для $\triangle ADC$: $a=9, b=15, c=12$. $p = \frac{9+15+12}{2} = 18$ см. $S_{ADC} = \sqrt{18(18-9)(18-15)(18-12)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{2916} = 54$ см$^2$. 4. Площадь $ABCD$: $S = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 54 = 84$ см$^2$. **Ответ: 84 см$^2$.**